勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数.
①观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过.计算0.5（9-1）,0.5（9+1）与0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式.
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
③继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦.
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解.
例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求证：∠C=90°.此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17,10、24、26…等.
再来看下面这些勾股数：3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证.
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数.
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和.
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便.
例：直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有：169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182.
用特点2此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182.
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出.
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与（4）中的最大平方数矛盾.
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6）,X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c).
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组.
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1.
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
......
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的.
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1,c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
......
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质.
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2),b=4*n^2-1,c=4*n^2+1,例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
......
还有诸如此类的勾股数,20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109
……
勾股数公式
X=m*m-n*n
Y=2mn
Z=m*m+n*n