Question

如图，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，侧棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA 1 的中点，AA 1 =2AC=2

Answer 1

（1）证明：∵BC⊥CC ₁，BC⊥AC，AC∩CC ₁=C，∴BC⊥平面ACC ₁A ₁，

C ₁D⊂平面ACC ₁A ₁，∴BC⊥C ₁D，

A ₁C ₁=A ₁D=AD=AC，∴ ∠ A 1 D C 1 =∠ADC=

π

4 ，

∴ ∠ C 1 DC=

π

2 ，即C ₁D⊥DC，

又BD∩CD=C，∴C ₁D⊥平面BDC，

（2）三棱锥C-BC ₁D即三棱锥C ₁-BCD，由（1）知BC⊥CD，

CD=

2 a，BC=a

∴△BCD的面积 S=

1

2 ×BC×CD=

2

2 a 2 ，

由（1）知，C ₁D是三棱锥C ₁-BCD底面BDC上的高，

∴体积 V=

1

3 Sh=

1

3 ×S× C 1 D =

1

3 ×

2

2 a 2 ×

2 a=

1

3 a 3 ．