Question

定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y属于R.有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)不等于0

Answer 1

1. 令y=0,得f(x)+f(x)=2f(x)*f(0),所以f(0)=1

令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),即y=f(x)是偶函数

2. f(x)是周期函数,证明：

令y=c/2,得f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)*f(c/2)=0

所以f(x+c/2)=-f(x-c/2),作换元t=x-c/2,得f(t+c)=-f(t)

再将t+c代入t,得f(t+2c)=-f(t+c)

所以f(t+2c)==-f(t+c)=f(t),即2c是f(x)的一个周期