解题思路:设圆柱高为x,即长方形的宽为x,则圆柱底面周长即长方形的长为6-x,圆柱底面半径:R=[6−x/2π],圆柱的体积V,利用导数法分析出函数取最大值时的x值,进而可得答案.
设圆柱高为x,即长方形的宽为x,
则圆柱底面周长即长方形的长为[12−2x/2]=6-x,
∴圆柱底面半径:R=[6−x/2π]
∴圆柱的体积V=πR2h=π([6−x/2π])2x=
x3−12x2+36x
4π,
∴V′=
3x2−24x+36
4π=
3(x−2)(x−6)
4π,
当x<2或x>6时,V′>0,函数单调递增;
当2<x<6时,V′<0,函数单调递减;
当x>6时,函数无实际意义
∴x=2时体积最大
此时底面周长=6-2=4,
该圆柱底面周长与高的比:4:2=2:1
故选:C.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
考点点评: 本题考查的知识点是旋转体,圆柱的几何特征,其中将圆柱的体积表示为x的函数,进而转化为函数最值问题,是解答的关键.