Question

设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3∫ e^(1-x^2) f(x) dx

Answer 1

设g(x)=e^(1-x²)f(x),易证明g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导

且g(1)=f(1)

又f(1)=3∫ g(x) dx

由积分中值定理,存在ξ∈(0,1/3),使

f(1)=3*(1/3)*g(ξ)=g(ξ)

因此可得：g(ξ)=g(1)

g(x)在 [ξ,1] 内满足罗尔中值定理条件,则

存在c∈(ξ,1),使得：g'(c)=0

g'(x)=-2xe^(1-x²)f(x)+e^(1-x²)f '(x)

因此g'(c)=-2ce^(1-c²)f(c)+e^(1-c²)f '(c)=0

两边消去e^(1-c²)得：-2cf(c)+f '(c)=0,命题得证.