Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．

Answer 1

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3

（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2

∴AF=AD=2而∠A=60°，

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，

∴EF⊥AD在图2中，A ₁E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A ₁EB为二面角A _1-EF-B的平面角．由

题设条件知此二面角为直二面角，A ₁E⊥BE，又BE∩EF=E（2）

∴A ₁E⊥平面BEF，

即A ₁E⊥平面BEP

（3）在图2中，A ₁E不垂直A ₁B，

∴A ₁E是平面A ₁BP的垂线，又A ₁E⊥平面BEP，

∴A ₁E⊥BE．

从而BP垂直于A ₁E在平面A ₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A ₁E在平面A ₁BP内的射影为A ₁Q，且A ₁Q交BP于点Q，则∠E ₁AQ就是A ₁E与平面A ₁BP所成的角，且BP⊥A ₁Q．

在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，

∴△EBP是等边三角形．又A ₁E⊥平面BEP，

∴A ₁B=A ₁P，

∴Q为BP的中点，且 EQ=

3 ，又A ₁E=1，

在Rt△A ₁EQ中， tan∠E A 1 Q=

EQ

A 1 E =

3 ，

∴∠EA ₁Q=60°，

∴直线A ₁E与平面A ₁BP所成的角为60°

在图3中，过F作FM⊥A ₁P与M，连接QM，QF，

∵CP=CF=1，∠C=60°，

∴△FCP是正三角形，

∴PF=1．有 PQ=

1

2 BP=1

∴PF=PQ①，

∵A ₁E⊥平面BEP， EQ=EF=

3

∴A ₁E=A ₁Q，

∴△A ₁FP≌△A ₁QP从而∠A ₁PF=∠A ₁PQ②，

由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，

∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，

从而∠FMQ为二面角B-A ₁P-F的平面角．

在Rt△A ₁QP中，A ₁Q=A ₁F=2，PQ=1，又∴ A 1 P=

5 ．

∵MQ⊥A ₁P，∴ MQ=

A 1 Q•PQ

A 1 P =

2

5

5

∴ MF=

2

5

5

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得 QF=

3

在△FMQ中， cos∠FMQ=

M F 2 +M Q 2 -Q F 2

2MF•MQ =-

7

8

∴二面角B-A ₁P-F的大小为 π-arccos

7

8