已知曲线C的方程为y 2 =4x（x＞0），曲线E - 知识问答

已知曲线C的方程为y 2 =4x（x＞0），曲线E是以F 1 （-1，0）、F 2 （1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C

1个回答

（1）设椭圆方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1(a＞b＞0) ，
依题意，c=1， |P F 2 |=
5
3 ，利用抛物线的定义可得x_P-（-1）=
5
3 ，解得 x P =
2
3 ，
∴P点的坐标为 (
2
3 ，
2
6
3 ) ，所以 |P F 1 |=
7
3 ，
由椭圆定义，得 2a=|P F 1 |+|P F 2 |=
7
3 +
5
3 =4，a=2 ．
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1 ；
（2）设直线l与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0），
与
x 2
4 +
y 2
3 =1 联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0得4k²-m²+3＞0①，
由韦达定理得，x₁+x₂=
-8km
3+4 k 2 ， x 1 x 2 =
4 m 2 -12
3+4 k 2 ，
则x₀=
-4km
3+4 k 2 ，y₀=kx₀+m=
3m
3+4 k 2 ，
将中点（
-4km
3+4 k 2 ，
3m
3+4 k 2 ）代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②
将②代入①得16²k²（3+4k²）＜81，
令t=4k²（t＞0），
则64t²+192t-81＜0，解得0＜t＜
3
8 ，
∴-
6
8 ＜k＜
6
8 ．
所以直线l的斜率k的取值范围为-
6
8 ＜k＜
6
8 ．

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