Question

已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2-a=0”．

Answer 1

解题思路：（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，只要x∈[1，2]时，f（x）_min≥0即可；

（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．

（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，

根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）_min≥0即可，

也就是1-a≥0，解得a≤1，

∴实数a的取值范围是（-∞，1]；

（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，

命题q为真命题时，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1．

∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，

∴命题p与命题q必然一真一假，

当命题p为真，命题q为假时，

a≤1

−2＜a＜1⇒−2＜a＜1，

当命题p为假，命题q为真时，

a＞1

a≤−2或a≥1⇒a＞1，

综上：a＞1或-2＜a＜1．

点评：

本题考点： 复合命题的真假；命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．