Question

动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)

Answer 1

(1)如图,由于正六边形内角和为(6-2)×180°=720°,则其一角的角平分线所分的两个角同为60°； 设所需矩形的长宽分别为A、B,剪出的正六边形径长为L,那么A=2L,B=2L·sin60°=√3L； 因此,所求长宽比为A：B=(2L)：(√3L)=2√3：3.(2)依题意并结合图形知,A=2a,B=√3a,L=a,并设所求高为h,正六棱柱底面边长为k,那么k=2·(L-h/sin60°)·cos60°=a-2√3h/3 则无盖正六棱柱侧面积为S=6·k·h=6·(a-2√3h/3)·h=﹣4√3(h-√3a/4)²+3√3a²/4 故①当h=√3a/4时,S取得最大值为3√3a²/4,且k=√3a/2； ②此时矩形纸片利用率：ω=(3√3a²/4+3√3k²/2)/(2a·√3a)×100% =(3√3a²/4+9√3a²/8)/(2√3a²)×100% =(3/4+9/8)/2×100% =15/16×100% =93.75%. （注：正六边形面公式S=3√3L²/2,L为正六边形边长） 因此,所求正六棱柱的高为√3a/4,且此时矩形纸片利用率为93.75%..