(2012•南湖区二模)在特殊四边形的复习课上,王老师出了这样一道题:

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  • 解题思路:(1)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,求出GM=HN,求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME≌△HNF即可;

    (2)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,根据菱形面积公式求出GM=HN,求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME≌△HNF即可;

    (3)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,根据平行四边形面积公式求出[GM/HN]=[BC/AB]=[b/a],求出∠GME=∠HNF=90°,∠GEM=∠HFN,证出△GME∽△HNF即可.

    (1)EG=FH,

    理由是:

    过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴DC=AB,AD∥BC,DC∥AB,AD=BC,∠D=∠A=∠B=∠C=90°,

    ∴GM∥AD∥BC,HN∥DC∥AB,

    ∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB,四边形DCNH是平行四边形,

    ∴DC=HN=AB,AD=GM=BC,

    ∴HN=GM,

    ∵∠ADC=∠HOE=90°,

    ∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,

    ∵AD∥BC,DC∥AB,

    ∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

    ∴∠HFN=∠GEM,

    ∵HN⊥BC,GM⊥AB,

    ∴∠GME=∠HNF=90°,

    在△GME和△HNF中

    ∠GEM=∠HFN

    ∠GME=∠HNF

    GM=HN

    ∴△GME≌△HNF(AAS),

    ∴EG=FH;

    (2)

    EG=FH,

    理由是:过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

    ∵四边形ABCD是菱形,

    ∴DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,

    ∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN,

    ∴GM=HN,

    ∵GM⊥AB,HN⊥BC,

    ∴∠GME=∠HNF=90°,

    ∵∠ADC=∠HOE,

    ∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,

    ∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,

    ∵AD∥BC,DC∥AB,

    ∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

    ∴∠HFN=∠GEM,

    在△GME和△HNF中

    ∠GEM=∠HFN

    ∠GME=∠HNF

    GM=HN

    ∴△GME≌△HNF(AAS),

    ∴EG=FH.

    (3)[EG/FH]=[b/a],

    理由是:过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

    ∵四边形ABCD是平行四边形,

    ∴AD∥BC,DC∥AB,

    ∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN,

    ∵AB=a,AD=b,

    ∴[GM/HN]=[b/a],

    ∵GM⊥AB,HN⊥BC,

    ∴∠GME=∠HNF=90°,

    ∵∠ADC=∠HOE,

    ∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,

    ∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,

    ∵AD∥BC,DC∥AB,

    ∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

    ∴∠HFN=∠GEM,

    ∴△GME∽△HNF,

    ∴[EG/FH]=[GM/HN]=[b/a],

    故答案为:[EG/FH]=

    点评:

    本题考点: 四边形综合题.

    考点点评: 本题考查了正方形性质,平行四边形性质,菱形性质,面积公式,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,题目具有一定的代表性,证明过程类似.