已知函数f(x)=x2+2x+1,若存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立,则实数m的最大值是(  )

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  • 解题思路:由当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立即设g(x)=f(x+t)-x≤0恒成立,即要要求g(1)≤0且g(m)≤0,解出t的范围,讨论m的取值即可得到m的最大值.

    设g(x)=f(x+t)-x=x2+(2t+1)x+(1+t)2

    由题值f(x+t)-x≤0恒成立即g(1)≤0且g(m)≤0分别解得:

    t∈[-3,-1],m2+(2t+1)m+(t+1)2≤0,

    即当t=-1时,得到m2-m≤0,解得0≤m≤1;当t=-3时,得到m2-5m+4≤0,解得1≤m≤4

    综上得到:m∈[1,4],所以m的最大值为4

    故选D

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力.灵活运用二次函数求最值的方法的能力.