Question

已知n为正整数，且22+2n+22014是一个完全平方数，则n的值为 ___ ．

Answer 1

解题思路：本题分两种情况讨论n的取值．把4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

（1）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴

=2²+2•2•2^n-2+（2¹⁰⁰⁷）²

∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．

∴2^n-2=2¹⁰⁰⁷

即n-2=1007．

∴当n=1009时，2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数；

（2）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴=2²+2²⁰¹⁴+2ⁿ，

=2²+2•2•2²⁰¹²+2ⁿ，

∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．

∴2012×2=n

∴n=4024．

综上得n=1009或n=4024，

故答案为：1009或4024．

点评：

本题考点： 完全平方式．

考点点评： 本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．