Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）利用递推关系判断出数列{a_n}为等差数列，将a₁，a₂，a₅用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c．

（2）写出b_n，据其特点，利用裂项的方法求出数列{b_n}的前n项和S_n．

（1）∵a_n+1=a_n+c

∴a_n+1-a_n=c

∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以c为公差的等差数列

a₂=1+c，a₅=1+4c

又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列

∴（1+c）²=1+4c

解得c=2或c=0（舍）

（2）由（1）知，a_n=2n-1

∴bn＝

1

(2n−1)(2n+1)＝

1

2(

1

2n−1−

1

2n+1)

∴Sn＝

1

2[(1−

1

3)+(

1

3 −

1

5)+…+(

1

2n−1−

1

2n+1)]=[1/2(1−

1

2n+1)＝

n

2n+1]

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法．