Question

已知an=logn+1（n+2）（n∈N*）我们把使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n叫做“成功数”，则在区间（1，

Answer 1

解题思路：由题意可得，a1•a2…an=log23•log34…logn+1（n+2）=lg3lg2•lg4lg3•lg5lg4…lg(n+2)lg(n+1)＝log2(n+2)，若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k（k∈Z），则在（1，2012）内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求得结果．

∵a_n=log_n+1（n+2），

∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）

=

lg3

lg2•

lg4

lg3•

lg5

lg4…

lg(n+2)

lg(n+1)＝log2(n+2)

若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），

则在（1，2012）内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．

∴所求的“成功数”的和为：

2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2

=（2²+2³+2⁴+…+2¹⁰）-2×9

=

4(1−29)

1−2−2×9=2026．

故选C．

点评：

本题考点： 对数的运算性质．

考点点评： 本题以新定义“成功数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．