Question

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，且S n ，a n ， 1 2 成等差数列，

Answer 1

（1）由S _n，a _n，

1

2 成等差数列，可得 2 a n = S n +

1

2 ，∴ a 1 =

1

2 ，a ₂=1

（2）由 2 a n = S n +

1

2 可得，2S _n=4a _n-1（n≥1），∴2S _n-1=4a _n-1-1（n≥2）

∴两式相减得2a _n=（4a _n-1）-（4a _n-1-1）=4a _n-4a _n-1，即a _n=2a _n-1（n≥2），

∴数列{a _n}是以

1

2 为首项，以2为公比的等比数列，

∴ a n =

1

2 × 2 n-1 = 2 n-2 （n∈N ^*）

（3）由题意可得， C n =(4-2n)×(

1

2 ) n-2

T _n=C ₁+C ₂+…+C _n

= 2×(

1

2 ) -1 +0×(

1

2 ) 0 +(-2)×(

1

2 ) 1 +…+(4-2n)× (

1

2 ) n-2

1

2 T n =2×(

1

2 ) 0 +0×(

1

2 ) 1 +…+(4-2n)× (

1

2 ) n-1

错位相减可得，

1

2 T n =2n×(

1

2 ) n-1

T n =4n×(

1

2 ) n-1