Question

设a＞0,f(x)=e^x／a+a/e^x是R上的偶函数.(1)求a的值(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数（3）

Answer 1

a＞0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,

∴f(x)=f(-x),即e^x/a+a/e^x=e^（-x）/a+a/e^(-x),

∴(e^x-1/e^x)(a-1/a)=0,

∴a-1/a=0,a^2=1,a>0,

∴a=1.

(2)f(x)=e^x+e^(-x),x>0,

f'(x)=e^x-e^(-x)>0,

∴f(x)是增函数.

（3）f(x)=2,

(e^x)^2+1=2e^x,

(e^x-1)^2=0,

e^x=1,x=0.