Question

直线y=ax+b与抛物线y=1/4x^2+1相切于点p,若p点横坐标为整数,那么a^2+b^2的最小值

Answer 1

答：

直线y=ax+b和抛物线y=x^2/4+1联立整理得：

x^2-4ax+4-4b=0

两曲线相切,交点唯一：x=-(-4a)/(2*1)=2a为整数.

判别式Δ=(-4a)^2-4*1*(4-4b)=0

所以：a^2=1-b,b=1-a^2

所以：a为整数.

原式=a^2+b^2

=a^2+(1-a^2)^2

=a^4-a^2+1

=(a^2-1/2)^2+3/4

因为a是整数,所以当a=0或者a=1或者a=-1时,原式=a^2+b^2最小值为1.

所以：a^2+b^2最小值为1.