计算出a1=1,a2=√2-1,a3=√3-√2
猜想an=√n-√(n-1)
用数学归纳法证明
n=1时显然成立
n=k+1时S(k+1)=Sk+a(k+1)=√k+a(k+1),所以
2a(k+1)[√k+a(k+1)]=1+(a(k+1))^2
整理得(a(k+1))^2-2√k(a(k+1))-1=0
解方程得a(k+1)=√(k+1)-√k (-√(k+1)-√k舍去）
所以,an=√n-√(n-1)
把an=Sn-S(n-1)代入2anSn=1+an^2整理得(Sn)^2=[S(n-1)]^2+1
所以{（Sn)^2}是等差数列且Sn^2=n,所以Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)