解题思路：根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（60÷4）÷3=5厘米，由于长比高多2厘米，那么高=5-3=2厘米，由此解答．
增加的1个面的面积：60÷4=15（平方厘米）；
长方体的长（宽）：15÷3=5（厘米）；
长方体的高：5-3=2（厘米）；
体积：5×5×2=50（立方厘米）；
答：原来这个长方体的体积是50立方厘米．
故答案为：50立方厘米．
点评：
本题考点： 长方体和正方体的体积．
考点点评： 此题解答关键是求出长方体的长、宽，再求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可．