Question

（2014•嘉兴一模）对非零实数x，y，z，定义运算“⊕”满足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z．

Answer 1

解题思路：理解新定义的含义，求出f（x）的解析式，再判定各选项是否正确即可．

根据题意，∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，

∴令x=y=z，则x⊕（x⊕x）=（x⊕x）•x，

又∵x⊕x=1，

∴x⊕1=x；

又∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，

∴令y=z，则x⊕（y⊕y）=（x⊕y）•y，

∴（x⊕y）•y=x⊕1=x，

∴x⊕y=[x/y]；

∴f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x

=

e2x

ex-

ex

e2x

=e^x-e^-x；

∴f（x）的定义域是R，

且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数；

又∵y=e^x是增函数，∴y=e^-x是减函数，

∴y=-e^-x是增函数，

∴f（x）=e^x-e^-x是R上的增函数；

∴f（x）是奇函数也是增函数；

故选：A．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；指数函数综合题．

考点点评： 本题考查了求新定义的函数的解析式问题，解题时应理解题意，求出f（x）的解析式，再判定各选项是否正确．