Question

用数学归纳法证明：1²+3²+5²+.+（2n-1）²=1/3n(4n²-1)

Answer 1

证明：

1’ 当n=1时,左= (2*1-1)² =1,右=1/3*1*(4*1²-1),左=右,命题成立

2’ 假设当 n=k时,命题成立

即1²+3²+5²+...+(2k-1)²= 1/3k (4k²-1)成立

则当n=k+1时,

左=1²+3²+5²+...+(2k-1)²+[2(k+1)-1]²

=1/3k(4k²-1)+(2k+1)²

=1/3k+4k²+4k+1

=4/3k3+4k²+11/3k+1

右=1/3(k+1) [4(k+1)²-1]

=(1/3k+1/3)( 4k²+8k+3)

=4/3k3+8/3k²+8/3k+1

=4/3k3+4k²+11/3k+1

∴左=右,命题成立

由1’、2’得命题对任意n属于N*成立