Question

过圆x^2+y^2=8内的点p（-1,2）作直线l交圆于a,b两点,弦ab中点m的轨迹方程为?

Answer 1

若弦斜率不存在

则是x=-1

此时y^2=8-1=7

所以中点是(-1,0)

若斜率存在

则y-2=k(x+1)

y=kx+(k+2)

代入

(k^2+1)x^2+2k(k+2)x+(k+2)^2-8=0

所以x1+x2=-2k(k+2)/(k^2+1)

y1+y2=kx1+(k+2)+kx2+(k+2)=k(x1+x2)+2k+4=(2k+4)/(k^2+1)

中点坐标是x=(x1+x2)/2=(-k^2-2k)/(k^2+1)

y=(y1+y2)/2=(k+2)/(k^2+1)

所以y/x=(k+2)/(-k^2-2k)=-1/k

因为y-2=k(x+1)

所以1/k=(x+1)/(y-2)

所以y/x=-(x+1)/(y-2)

x^2+x+y^2-2y=0

斜率不存在时的(-1,0)也符合

所以x^2+y^2+x-2y=0