设函数f(x)=-x2+ax(x∈[0,2]).
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  • 解题思路:(1)当a=1时,f(x)=-x2+x,再根据x∈[0,2],由抛物线的几何性质可知f(x)的最小值.

    (2)函数f(x)=-x2+ax 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=[a/2].再根据x∈[0,2],利用抛物线几何性质,分当a≤0时、0<a≤2时、当a>2时三种情况,分别求得m(a).再由m(a)的解析式求得m(a)的最大值M(a).

    (1)∵a=1,∴f(x)=-x2+x,其图形是开口向下的抛物线.

    且与x轴的两个交点的横坐标分别是0,1.

    又x∈[0,2],由抛物线的几何性质可知:f(x)的最小值是f(2)=-2.

    (2)∵函数f(x)=-x2+ax 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=[a/2].

    且与x轴的两个交点的横坐标分别是0,a,a≠0.

    若a=0,则与x轴只有一个交点,其横坐标是0.

    又∵x∈[0,2],∴由抛物线几何性质可知:

    ①当a≤0时,m(a)=f(2)=-4+2a;

    ②当0<a≤2时,m(a)=f(2)=-4+2a;

    ③当a>2时,m(a)=f(0)=0,

    综合①②③可知 m(a)=

    −4+2a ,a≤2

    0 ,a>2.

    当a≤2时,函数m(a)=-4+2a是单调递增函数,其最大值是M(a)=m(2)=0,

    当a>2时,又函数m(a)=0,

    ∴m(a)=

    −4+2a ,a≤2

    0 ,a>2 的最大值M(a)=0.

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.