1.
首先,要知道n面体体积、表面积与其内切球半径的关系.
内切球到表面的距离等于内切球半径,表面与内切球球心可以构成棱锥,
该棱锥体积V1=S1*R/3,其中S1为该表面面积.
n面体体积等于各个棱锥体积之和,
所以,V=V1+……+Vn=(S1+……+Sn)*R/3=SR/3,S为表面积
即R=3V/S,m/n=(V6/6)/(V8/8)=(4/3)*V6/V8
此题关键在于求出两个体积.
六面体是由两个正四面体拼接而成的,
由勾股定理求正四面体的高,为√6/3a,体积为√2/12*a^3
所以六面体体积V6=√2/6*a^3
正八面体是由两个正四棱锥拼接而成的,
由勾股定理求正四棱锥的高,为√2/2a,体积为=√2/6*a^3
所以正八面体体积V8=√2/3*a^3
m/n=(4/3)*V6/V8=(4/3)*(√2/6/√2/3)=2/3
m=2,n=3,mn=6
2.
这道题不要以ABC为底面进行考虑,而要以其他面作为底面,如PAB,即考虑三棱锥C-PAB
在PAB面中,
PE=4/5PA,则S△PEB=4/5S△PAB
PF=3/4PB,则S△PEF=3/4S△PEB
所以S△PEF=3/5S△PAB
因为PG=2/3PC,
所以hG=2/3hC,hG为G到PAB的距离,hC为C到PAB的距离,
V(P-EFG)=V(G-PEF)
=1/3S△PEF*hG
=1/3*3/5S△PAB*2/3hC
=2/5*(1/3S△PAB*hC)
=2/5V(C-PAB)
=2/5V(P-ABC)
=2/5V