Question

已知圆C以 C(t， 2 t )(t∈R，t≠0) 为圆心且经过原点O．

Answer 1

由题知，圆C方程为 (x-t ) 2 +(y-

2

t ) 2 = t 2 +

4

t 2 ，

化简得 x 2 -2tx+ y 2 -

4

t y=0

（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，

设MN的中点为H，则CH⊥MN．

∴C，H，O三点共线，

则直线OC的斜率 k=

2

t

t =

2

t 2 =

1

2 ⇒t=2 或t=-2，

知圆心C（2，1）或C（-2，-1），

所以圆方程为（x-2） ²+（y-1） ²=5或（x+2） ²+（y+1） ²=5，

由于当圆方程为（x+2） ²+（y+1） ²=5时，

直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，不满足直线和圆相交，故舍去．

∴圆C方程为（x-2） ²+（y-1） ²=5．

（Ⅱ） 点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，

又B′到圆上点Q的最短距离为 | B / C|-r=

(-6) 2 + 3 2 -

5 =3

5 -

5 =2

5 ，

所以|PB|+|PQ|的最小值为 2

5 ，

直线B′C的方程为 y=

1

2 x ，

则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为 (-

4

3 ，-

2

3 ) ．