已知数列{an}满足an+1＝an−22an−3， - 知识问答

已知数列{an}满足an+1＝an−22an−3，n∈N*，a1＝12．

3个回答

解题思路：（Ⅰ）由递推公式，令n=2，3，4易得；
（Ⅱ）通过a₂，a₃，a₄猜想，再用数学归纳法证明，要注意分两步证明．
（Ⅰ）由递推公式，得a2＝
a1−2
2a1−3＝
1
2−2
2•
1
2−3＝
3
4，（3分）
（Ⅱ）猜想：an＝
2n−1
2n．（5分）
证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）
②设n=k（k∈N^*）时，等式成立．即ak＝
2k−1
2k．（7分）
所以ak+1＝
ak−2
2ak−3＝
2k−1
2k−2
2•
2k−1
2k−3＝
2k−1−4k
4k−2−6k＝
2k+1
2k+2＝
2(k+1)−1
2(k+1)，
所以n=k+1时，等式成立．（9分）
根据①②可知，对任意n∈N^*，等式成立．即通项an＝
2n−1
2n．
点评：
本题考点：数列递推式；数学归纳法．
考点点评：本题主要考查推理和数学归纳法的证明方法及思路．

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