解题思路：（1）利用已知a1=1，
2
S
n
/n
＝
a
n+1
−
1
3
n
2
−n−
2
3]，n∈N*．令n=1即可求出；
（2）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为
a
n+1
n+1
＝
a
n
n
+1
，
a
n+1
n+1
−
a
n
n
＝1
．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用（2），通过放缩法[1
a
n
＝
1
n
2
＜
1
(n−1)n
＝
1/n−1
−
1
n]（n≥2）即可证明．
（1）当n=1时，
2S1
1＝2a1＝a2−
1
3−1−
2
3，解得a2=4
（2）2Sn＝nan+1−
1
3n3−n2−
2
3n①
当n≥2时，2Sn−1＝(n−1)an−
1
3(n−1)3−(n−1)2−
2
3(n−1)②
①-②得2an＝nan+1−(n−1)an−n2−n
整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即
an+1
n+1＝
an
n+1，
an+1
n+1−
an
n＝1
当n=1时，
a2
2−
a1
1＝2−1＝1
所以数列{
an
n}是以1为首项，1为公差的等差数列
所以
an
n＝n，即an＝n2
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*
（3）因为[1
an＝
1
n2＜
1
(n−1)n＝
1/n−1−
1
n]（n≥2）
所以[1
a1+
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=Sn-Sn-1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．
1年前
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