已知a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则mn的最大值为(  )

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  • 解题思路:由题意可得,函数y=ax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m,函数y=logax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为n.再根据函数y=ax和y=logax互为反函数,可得点(m,4-m)与点 (n,4-n)关于直线y=x对称,[m+n/2]=[4−m+4−n/2],可得 m+n=4,再利用基本不等式求得mn的最大值.

    ∵a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,

    ∴函数y=ax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m,

    函数y=logax的图象和直线4-x的交点的横坐标为n.

    再根据函数y=ax和y=logax互为反函数,可得点(m,4-m)与点 (n,4-n)关于直线y=x对称,

    ∴[m+n/2]=[4−m+4−n/2],可得 m+n=4≥2

    mn,

    ∴mn≤4,当且仅当m=n=2时,等号成立,

    故mn的最大值为4,

    故选:B.

    点评:

    本题考点: 函数的零点与方程根的关系.

    考点点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系,函数与反函数图象间的关系,基本不等式的应用,属于中档题.