解题思路:可通过证角相等来证三角形是等腰三角形.根据给出的比例关系式子,我们不难得出△ACD∽△ABC.那么可得出∠ACD=∠B,AC=DC,通过等边对等角我们可得出∠A=∠ACD,那么△ACD就是等腰三角形.证△CDB可通过角的度数进行证明(根据∠A的度数和三角形的内角和).
证明:∵∠ACB=108°,AC=BC,
∴∠A=∠B=36°.
∵AC2=AD•AB,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴∠ACD=∠B=36°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ACD=∠B=36°,
∴△ADC是等腰三角形,
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°,
∵∠B=36°,
∴∠BCD=180°-36°-72°=72°,
∴∠BDC=∠BCD,
∴△BCD是等腰三角形.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题主要考查了相似三角形的判定和等腰三角形的判定,根据题中的条件得出相似三角形进而得出对应角相等是解题的关键.