（1）依题意，得：
a-b+1=0
a+b+1=0 ，解得
a=-1
b=0 ；
∴抛物线的解析式为：y=-x 2+1；
（2）易知A（-1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；
由于AC ∥ BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=-1；
∴直线BD的解析式为y=x-1；联立抛物线的解析式得：
y=- x 2 +1
y=x-1 ，解得
x=1
y=0 ，
x=-2
y=-3 ；
∴D（-2，-3）；
∴S 四边形ACBD=S △ABC+S △ABD=
1
2 ×2×1+
1
2 ×2×3=4；
（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC ∥ BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=
2 ，BD=3
2 ；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
△MNA ∽ △CBD或△MNA ∽ △DBC，得：
MN
AN =
BC
BD =
1
3 或
MN
AN =
BD
BC =3；
即MN=
1
3 AN或MN=3AN；
设M点的坐标为（x，-x 2+1），
①当x＞1时，AN=x-（-1）=x+1，MN=x 2-1；
∴x 2-1=
1
3 （x+1）或x 2-1=3（x+1）
解得x=
4
3 ，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（
4
3 ，-
7
9 ）或（4，-15）；
②当x＜-1时，AN=-1-x，MN=x 2-1；
∴x 2-1=
1
3 （-x-1）或x 2-1=3（-x-1）
解得x=
2
3 ，x=-1（两个都不合题意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）；
∴M（-2，-3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（
4
3 ，-
7
9 ）或（4，-15）或（-2，-3）．