（1）双曲线C1的左、右焦点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），
∵双曲线的渐进线方程为：y=±
3
2x，
∴点C的坐标为（x0，3）（x0＞0）是渐进线y=[3/2]x上的点，即点C的坐标为（2，3）．
∵|AC|=5，|BC|=3∴椭圆的长轴长2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，
∵半焦距c=2，∴b2=a2-c2=16-4=12．
∴椭圆的方程为
x2
16+
y2
12=1；
（2）∵
|AB|
sinC=2R，∴2R=4
2，即R=2
2
又圆心在线段AB的垂直平分线上，故可设圆心（0，s）（s＞0）
由4+s2=8，s=2．∴△ABC的外接圆的方程为x2+（y-2）2=8；
（3）假设存在这样的定点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t）
∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）2+（x+t-n）2=x2+（x+t-2）2-8
即（2m+2n-4）x-（m2+n2-2nt+4t+4）=0对x∈R恒成立．
从而2m+2n-4=0且m2+n2-2nt+4t+4=0，消去m，得n2-（t+2）n+（2t+4）=0①
∵方程①的判别式△=t2-4t-12
∴①当-2＜t＜6时，方程①无实数解，∴不存在这样的定点M；
②当t≤-2或t≥6时，方程①有实数解，此时
|0−2+t|
2≥2
2，即直线y=x+t与圆相离或相切，
故此时存在这样的定点M．