解题思路：（1）连接DE，DF，证明△AED≌△DCF，得DE=DF，问题得证；
（2）由BP=BE，AB∥CD，可推得DP=DG，再证：△EDP≌△FDG，即可得到EP=FG．
证明：（1）连接ED和DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△AED和△DCF中，
AD＝CD
∠A＝∠DCF＝90°
AE＝CF，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴ED=DF，
∴△EDF为直角三角形，D为其顶点，EF为底边
∴点D在线段EF的垂直平分线上；
（2）∵△EDF为等腰三角形
∴∠DEP=∠DFG，
∵BP=BE，
∴∠BEF=∠BPE，
∵∠BPE=∠DPG，
∴∠BEF=∠BPE，
∴∠BEP和∠CGF同位角，
∴∠BEP=∠CGF，
∴∠BEP和∠CGF，
∠CGF=∠DGE，
∴∠BEP=∠DGE，
∴∠EPD=∠DGF，
∴∠EDP=∠GDF，
∴∠BEP=∠DGE，
∴△EDP≌△FDG，
∴EP=FG．
点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
考点点评： 本题考查了正方形的性质、垂直平分线的判定和性质等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强，难度不小．