Question

证明方程(xe^(-x))-(1/2e)=0只有两个实根,急

Answer 1

设f(x)=x*e^(-x)

f'(x)=e^(-x)-x*e^(-x)=(1-x)*e^(-x)

(-无穷,1)上f(x)增

(1,+无穷)上f(x)减.

当x无限趋向于-无穷时,f(x)为负,当x无限趋向于+无穷时,f(x)=0

由单调区间,函数的极大值为f(x)=1/e为正

则在(-无穷,1)上,函数值从负无穷增加到1/e,中间一定有值取到1/(2e)

则在(1,+无穷)上,函数值从1/e减到0,中间一定有值取到1/(2e)

即方程有两个实根