解题思路：（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据f′（x）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，则f′（1）=0，又由函数在（0，e]上的最大值为1，讨论a，得出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．
（1）当a=1时，因为f（x）=lnx+ax2-3x，所以x＞0，
f′（x）=[1/x]+2x-3=
2x2−3x+1
x
令f′（x）=0，解得x1＝
1
2，x2=1
当0＜x＜
1
2时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，[1/2]）上单调递增；
当[1/2]＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（[1/2]，1）上单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
所以f（x）的单调递增区间为（0，[1/2]），（1，+∞），单调递减区间为（[1/2]，1）；
（2）因为f′（x）=
(2ax−1)(x−1)
x
令f′（x）=0，x1=1，x2=[1/2a]
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2=[1/2a]≠x1=1，
①当[1/2a]＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），
令f（1）=1，解得a=-2
②当a＞0，x2=[1/2a]＞0
（i）当[1/2a]＜1时，f（x）在（0，[1/2a]）上单调递增，（[1/2a]，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=[1/2a]或x=e处取得
而f（[1/2a]）=ln[1/2a]+a（[1/2a]）2-（2a+1）•[1/2a]=ln[1/2a]-[1/4a]-1＜0
所以f（e）=lne+ae2-（2a+1）e=1，解得a=
1
e
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．