用来计算时间与长度收缩的√[1-(v/c)^2],洛伦兹常数.

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  • 这个是狭义相对论,证明如下:

    狭义相对论公式及证明

    单位 符号 单位 符号

    坐标: m (x,y,z) 力: N F(f)

    时间: s t(T) 质量:kg m(M)

    位移: m r 动量:kg*m/s p(P)

    速度: m/s v(u) 能量: J E

    加速度: m/s^2 a 冲量:N*s I

    长度: m l(L) 动能:J Ek

    路程: m s(S) 势能:J Ep

    角速度: rad/s ω 力矩:N*m M

    角加速度:rad/s^2α 功率:W P

    一:

    牛顿力学(预备知识)

    (一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

    (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

    (注:两式中左式为微分形式,右式为积分形式)

    当v不变时,(1)表示匀速直线运动.

    当a不变时,(2)表示匀变速直线运动.

    只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了.

    (二):质点动力学:

    (1)牛一:不受力的物体做匀速直线运动.

    (2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比.

    F=ma=mdv/dt=dp/dt

    (3)牛三:作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上.

    (4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比.

    F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

    动量定理:I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

    动量守恒:合外力为零时,系统动量保持不变.

    动能定理:W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

    机械能守恒:只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

    (注:牛顿力学的核心是牛二:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之.同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况.)

    二:

    狭义相对论力学:(注:γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度.)

    (一)基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的.

    (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数.

    (此处先给出公式再给出证明)

    (二)洛仑兹坐标变换:

    X=γ(x-ut)

    Y=y

    Z=z

    T=γ(t-ux/c^2)

    (三)速度变换:

    V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

    V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

    V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

    (四)尺缩效应:△L=△l/γ或dL=dl/γ

    (五)钟慢效应:△t=γ△τ或dt=dτ/γ

    (六)光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

    (光源与探测器在一条直线上运动.)

    (七)动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm.

    (八)相对论力学基本方程:F=dP/dt

    (九)质能方程:E=Mc^2

    (十)能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2

    (注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的.)

    三:

    三维证明:

    (一)由实验总结出的公理,无法证明.

    (二)洛仑兹变换:

    设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向.在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数.)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理.当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得:k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换:

    X=γ(x-ut)

    Y=y

    Z=z

    T=γ(t-ux/c^2)

    (三)速度变换:

    V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

    =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

    =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

    同理可得V(y),V(z)的表达式.

    (四)尺缩效应:

    B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ

    (五)钟慢效应:

    由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.

    (注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量.)

    (六)光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

    B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时.B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).

    (七)动量表达式:(注:dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c)

    牛二在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛二都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式.

    牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度.牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv.定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量.(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)

    (八)相对论力学基本方程:

    由相对论动量表达式可知:F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛二的形式完全一样,但内涵不一样.(相对论中质量是变量)

    (九)质能方程:

    Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

    =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

    =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

    =Mc^2-mc^2

    即E=Mc^2=Ek+mc^2

    (十)能量动量关系:

    E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2

    四:

    四维证明:

    (一)公理,无法证明.

    (二)坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立.定义dS为四维间隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0.dS^2〉0称类空间隔,dS^2