解题思路:(1)求出函数的导数,求出切线的斜率,由直线平行的条件,得到a的方程,解出即可;
(2)求出导数,f(x)在(2,+∞)上单调递增,即为f′(x)≥0在(2,+∞)上恒成立,即有-a≤2x2在(2,+∞)上恒成立.求出2x2在(2,+∞)上值域即可得到.
(1)函数f(x)=x2+alnx+2的导数为f′(x)=2x+[a/x],
则f(x)在x=1处的切线斜率为2+a,
由于在x=1处的切线与直线y=3x-1平行,则2+a=3,
则a=1;
(2)由于f′(x)=2x+[a/x],
f(x)在(2,+∞)上单调递增,
即为f′(x)≥0在(2,+∞)上恒成立,
即有-a≤2x2在(2,+∞)上恒成立.
由于2x2在(2,+∞)上值域为(8,+∞),
则有-a≤8,即a≥-8.
故实数a的取值范围是[-8,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率,考查导数的运用:判断单调性,属于中档题.