所谓抽象函数问题,是指没有具体地给出函数的解析式,只给出它的一些特征或性质.解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质,因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点.抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点.
1换元法
换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法.
例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)
令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)
故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2)
2.方程组法
运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题.
例2.
3.待定系数法
如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题.
例3.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
4.赋值法
有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决.
例4.对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
5.转化法
通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.
例5.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)0且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [
对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx
余切函数 f(x)=cotx
例7.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2
(1)先证f(x)>0,且单调递增,因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.
f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾,故f(x)>0
任取x1,x2∈R且x10,f(x2-x1)>1,
所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0.
所以x∈R时,f(x)为增函数.解得:{x|1