Question

已知中心在原点的椭圆C 一个焦点F（4,0）,长轴端点到较近焦点距离为1,A（x1,y1）,B(x2,y2) (x1不等

Answer 1

(1) c=4,a=5

b=3

椭圆方程

x^2/5^2+y^2/3^2=1

(2)D点在线段AB的中垂线上

线段AB中点M坐标为 ( (x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2 )

中垂线的与AB垂直,斜率k满足

k *(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=-1

由此得到中垂线方成为

y=-(x_1-x_2)/(y_1-y_2) * { x-(x_1+x_2)/2}+(y_1+y_2)/2

它与x轴交点为

x_D= (x_1+x_2)/2+(y_1+y_2)/2 * (y_1-y_2)/(x_1-x_2)

= (x_1+x_2)/2+{(y_1)^2-(y_2)^2 }/ {2 (x_1-x_2)}

考虑到A和B均为椭圆上的点满足

(x_1)^2/5^2+(y_1)^2/3^2=1

(x_2)^2/5^2+(y_2)^2/3^2=1

两式相减得到

{ (x_1)^2-(x_2)^2}/5^2+{(y_1)^2-(y_2)^2} /3^2=0

所以

{(y_1)^2-(y_2)^2} =-3^2/5^2 *{ (x_1)^2-(x_2)^2}

带入前面的式子

x_D= (x_1+x_2)/2+{(y_1)^2-(y_2)^2 }/ {2 (x_1-x_2)}

= (x_1+x_2)/2-3^2/5^2 *{ (x_1)^2-(x_2)^2}/{2 (x_1-x_2)}

=(x_1+x_2)/2-3^2/5^2 *{ (x_1)+(x_2)}/2

=64/25