Question

如图，已知点F为抛物线C1：y2=4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线C1于A，C，B，

Answer 1

（Ⅰ）∵F为抛物线C₁：y²=4x的焦点，∴F（1，0），

设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），当直线AC的斜率为2时，

直线AC的方程为x=[1/2y+1，

代入抛物线C₁的方程，得y²-2y-4=0，

设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

则y₁+y₂=2，∴x1+x2=(

1

2y1+1)+(

1

2y2+1)=3，

∴AC的中点坐标E（

3

2]，1），

由AC⊥BD，得直线BD的方程为x=-2y+1，

同理，得BD的中点坐标为G（9，-4），

由E（[3/2，1），G（9，-4）得直线EG的方程为2x+3y-6=0．

（Ⅱ）直线EG过定点（3，0），设A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），

直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C₁的方程，得y²-4my-4=0，

则y₃+y₄=4m，

∴x3+x4=my3+1+my4+1=4m2+2，

∴AC的中点坐标为E（2m²+1，2m），

由AC⊥BD，得BD的中点坐标为G（

2

m2+1，-

2

m]），

令2m²+1=[2

m2+1，得m²=1，此时2m²+1=

2

m2+1=3，

故直线过点H（3，0），

当m²≠1时，kHE=

2m-0

2m2+1-3=

m

m2-1，

同理kHG=

-

2/m-0

2

m2+1-3]=

m

m2-1，

∴k_HE=k_HG，

∴E，H，G三点共线，

故直线过定点H（3，0）．