Question

已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1．求：

Answer 1

解题思路：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同样x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；

（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；

（3）先求出其解析式，再利用其导函数即可得到在（0，+∞）上的单调性，即而得到最值．

解（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1，

令x₁=1，x₂=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，

∵f（0）=-1，

∴f（1）=0，

令x₁=x₂=1得：f（2）=3；

（2）因为：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，

又f（x）=f（-x），f（0）=-1，

故f（x）=x²-1

（3））∵F（x）=[f（x）]²-2f（x）=x⁴-4x²+3，

∴F′（x）=4x³-8x=4x（x²-2）=4x（x+

2）（x-

2）；

∴在（

2，+∞）上F′（x）＞0，在（0，

2）上F′（x）＜0

故函数F（x）在[

2，+∞）上是增函数，在（0，

2）上为减函数．

当x=

2时，F（x）_min=-1，F（x）无最大值．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合．解决第一问的关键在于赋值法的应用．一般在见到函数解析式不知道而要求具体的函数值时，多用赋值法来解决．