Question

观察下列算式：1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=

Answer 1

（1）观察算式：

1=1 ²

1+3=4=2 ²

1+3+5=9=3 ²

1+3+5+7=16=4 ²

1+3+5+7+9=25=5 ²

…

可得1+3+5+…+（2n-1）=n ²．

证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k ²，

则当n=k+1时，

1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k ²+2k+1=（k+1） ²

这就是说n=k+1时，等式成立．

根据①，②，等式对任意的n∈N ^*均成立．