Question

设函数f（x）=ex+x2-a（a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范

Answer 1

解题思路：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

∵存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立

∴存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）

即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]上有交点

∵f（x）=e^x+x²-a在[0，1]上为增函数

∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]的交点在直线y=x上，

即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点

令：e^x+x²-a=x，则方程在[0，1]上一定有解

∴a=e^x+x²-x

设g（x）=e^x+x²-x

则g′（x）=e^x+2x-1＞0在[0，1]上恒成立，

∴g（x）=e^x+x²-x在[0，1]上递增

∴a=g（x）≥g（0）=1

综上可知，a≥1

故答案为：a≥1．

点评：

本题考点： 指数型复合函数的性质及应用．

考点点评： 本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．