（1）∵ S n =(
a n +1
2 ) 2 ，
∴ S n-1 =(
a n-1 +1
2 ) 2 ，n≥2 ，
两式相减得 a n =(
a n +1
2 ) 2 -(
a n-1 +1
2 ) 2 ，n≥2 ，…（2分）
整理得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，
∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n-a n-1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）
又 S 1 =(
a 1 +1
2 ) 2 得a 1=1，∴a n=2n-1．…（5分）
（2）由题意得 k＞(
1
a 1 a 2 +
1
a 2 a 3 +…+
1
a n a n+1 ) max ，
∵
1
a n a n+1 =
1
(2n-1)(2n+1) =
1
2 (
1
2n-1 -
1
2n+1 ) ，
∴
1
a 1 a 2 +
1
a 2 a 3 +…+
1
a n a n+1 =
1
2 [(1-
1
3 )+(
1
3 -
1
5 )+…+(
1
2n-1 -
1
2n+1 )]
=
1
2 (1-
1
2n+1 )＜
1
2 …（8分）∴ k≥
1
2 …（10分）
（3）对任意m∈N +，2 m＜2n-1＜2 2m，则 2 m-1 +
1
2 ＜n＜ 2 2m-1 +
1
2 ，
而n∈N*，由题意可知 b m = 2 2m-1 - 2 m-1 ，…（12分）
于是 S m = b 1 + b 2 +…+ b m = 2 1 + 2 3 +…+ 2 2m-1 -( 2 0 + 2 1 +…+ 2 m-1 )
=
2- 2 2m+1
1- 2 2 -
1- 2 m
1-2 =
2 2m+1 -2
3 -( 2 m -1)=
2 2m+1 -3• 2 m +1
3 ，
即 S m =
2 2m+1 -3• 2 m +1
3 ．…（16分）