解题思路：先求出a-b，b-c，c-a的值，然后根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
∵a=2010m+2009，b=2010m+2010，c=2010m+2011，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2
=（-1）2+（-1）2+22
=1+1+4
=6．
故答案为：6．
点评：
本题考点： 有理数的乘方．
考点点评： 本题考查了有理数的乘方的定义，主要利用了负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1．