Question

在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=x^2上异于原点O的两动点A,B满足AO垂直于BO.

Answer 1

在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=x^2上异于原点O的两动点A,B满足AO⊥BO

设三角形AOB的重心G(x,y),A(a,a^2),B(b,b^2),AB的中点P,则

k(OA)=a^2/a=a,k(OB)=b

k(OA)*k(OB)=-1

a*b=-1,b=-1/a,b^2=1/a^2,b^4=1/a^4

由重心知识可知

xP=1.5xG=1.5x,yP=1.5y

P为AB的中点

xA+xB=2xP=3x, yA+yB=2yP=3y

a+b=3x,a^2+b^2=3y

(a+b)^2=(3x)^2

a^2+b^2+2ab=9x^2

3y+2*(-1)=9x^2

（1）三角形AOB的重心G的轨迹方程

y=3x^2+(2/3)

（2）△AOB的面积S

∵a^2+(1/a^2)≥2,AO⊥BO,△AOB为RT△

∴S=OA*OB/2

=0.5[√(a^2+a^4)]*[√(b^2+b^4)]

=0.5[√(a^2+a^4)]*{√[(1/a^2)+(1/a^4)]}

=0.5√[2+a^2+(1/a^2)]

S≥0.5*√(2+2)

S≥1

∴三角形AOB的面积的最小值=1

答:

(1)三角形AOB的重心G的轨迹方程:y=3x^2+(2/3)

(2）三角形AOB面积最小值的=1