Question

数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A

Answer 1

lim(n->∞) an =a ,求证：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

证明：

① 对任意 ε>0 ,

∵ lim(n->∞) an =a

对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时,|an-a| max{ M ,N1} 时:

|(a1+a2+..+an)/n - a|

≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n

≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε

② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+

③ 当 n>N 时,

④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.

∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}

逆命题不成立,如反例 :

an = (-1)^n

lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:

an = (-1)^n 发散.