Question

证明不等式 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc（a b c 是不全相等的正数）

Answer 1

a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)

=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc

=(a^2b+bc^2-2abc)+(ab^2+ac^2-2abc)+(b^c+a^2c-2abc)

=b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2

因为(a-c)^>=0,(b-c)^2>=0,(a-b)^2>=0

又因为a b c 是不全相等的正数

所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc>0

所以,a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2>6abc

所以,a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc得证