Question

已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n项和为S n ．a 1 =2，S 3 =14．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a _n}的公比是q，依题意 q＞0．

由S ₃=14，得 a 1 (1+q+ q 2 )=14 ，整理得 q ²+q-6=0．

解得 q=2，舍去q=-3．

所以数列{a _n}的通项公式为 a n = a 1 • q n-1 = 2 n ．

（Ⅱ）由 b n =n• a n =n• 2 n ，

得 T n =1×2+2× 2 2 +3× 2 3 +…+n• 2 n ，

所以 2 T n =1× 2 2 +2× 2 3 +3× 2 4 +…+n• 2 n+1 ．

两式相减，得 T n =-(2+ 2 2 + 2 3 +…+ 2 n )+n• 2 n+1 =-

2(1- 2 n )

1-2 +n• 2 n+1 ，

所以 T n =(n-1) 2 n+1 +2 ．