Question

已知曲线f（x）=xn+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，

Answer 1

解题思路：先求出函数的导数，由导数的几何意义求切线的斜率k，代入点斜式方程求出过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得xn，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．

由题意得f′（x）=（n+1）xⁿ，

设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，

∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）

令y=0，可得x=1-[1/n+1]=[n/n+1]，

即x_n=[n/n+1]，

∴lgx₁+lgx₂+…+lgx₉=lg（x₁x₂…x₉）

=lg（[1/2×

2

3×…×

9

10]）

=lg[1/10]=-1，

故选A．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的几何意义及过某一定点的切线方程，对数的运算法则，关键是正确求出导数和运用对数的运算法则．