△ABC和△ACE中,∠ABD=∠ACE=90°,∠DAB=∠CAE,M是DE的中点,求证:MB=MC

1个回答

  • 真巧,这题我以前做过

    不过题目似乎打错了,应是 △ABD和△ACE中,∠ABD=∠ACE=90° 吧

    证:取AB中点P,AC中点Q,连接PD、PM、QE、QM、

    ∵P是AB中点,M是BC中点

    ∴AP‖QM,QM=½AB(三角形中位线平行于第三边,且等于第三边一半)

    同理,PM‖AC,PM=½AC

    ∴四边形APQM是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

    ∴∠APM=∠AQM(平行四边形对角相等)

    ∵Rt△ABD中,P是AB中点

    ∴DP=½AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边一半)

    ∴AP=BP=½AB

    ∴DP=AP=BP=QM

    ∴∠1=∠2

    ∵∠DPA=∠1+∠2

    ∴∠DPA=2∠1

    同理,EQ=AQ=CQ=PM,∠AQE=2∠3

    ∵∠1=∠3

    ∴∠DPA=∠AQE

    ∴∠DPA+∠APM=∠AQE+∠AQM

    即∠DPM=∠MQE

    在△DPM与△MQE中

    DP=MQ

    ∠DPM=∠MQE

    PM=QE

    ∴△DPM≌△MQE(SAS)

    ∴MD=ME